生成AIエンジンのプロンプト設定をエンジンによって変更する必要はありますか。

いいえ、生成AIエンジン間でプロンプトの設定は共通です。 

例えば、GPT-4.1での設定はGPT-4.1 mini、Claude、Geminiの選択時にも引き継がれます。